Aleksandra Kurzak już w wieku 7 lat rozpoczęła naukę gry na skrzypcach i fortepianie. Ukończyła z wyróżnieniem Wydział Wokalny Akademii Muzycznej we Wrocławiu oraz Hochschule für Musik und Theater w Hamburgu. Jeszcze podczas studiów zadebiutowała jako Zuzanna w Weselu Figara na scenie Opery we Wrocławiu, u boku swojej mamy i nauczycielki Jolanty Żmurko jako Hrabiny.
Jest laureatką konkursów w Warszawie, Helsinkach,Barcelonie i Kantonie. W 2009 roku obroniła tytuł doktora sztuki.
Dwukrotnie otrzymała stypendium Ministra Kultury iSztuki, a także stypendium fundacji Crescendum Est – Polonia Aleksandra Gudzowatego. Otrzymała również nagrodę Prezydenta Wrocławia, Wojewody Dolnośląskiego, oraz Wrocławską Nagrodę Muzyczną.
Od 2001 do 2007 roku była związana ze Staatsoper w Hamburgu, przez pierwsze dwa sezony w Międzynarodowym Studiu Operowym, a później jako solistka tej opery. Występowała tam m.in. w takich rolach, jak: Królowa Nocy (Czarodziejski flet), Blonda (Uprowadzenie z Seraju), Zuzanna (WeseleFigara), Servilia (Łaskawość Tytusa), Gilda (Rigoletto), Nanetta (Falstaff), Ninetta (Miłość do trzech pomarańczy), Musetta Cyganeria),Laura (Der lächerliche Prinz Jodelet), Maria (Zar und Zimmermann), Adela (Zemsta nietoperza), Anusia (Wolny strzelec), Maid (Powder her face), Marcelina (Fidelio),Kleopatra (Juliusz Cezar w Egipcie),Małgosia (Jaś i Małgosia), Donna Fiorilla (Turek w Italii), Maria (Córka pułku).
W wieku 27 lat zadebiutowała w dwóch najbardziej prestiżowych operach świata. W Metropolitan Opera w Nowym Yorku rolą Olimpii w Opowieściach Hoffmanna, zdobywając wielkie uznanie wśród nowojorskich krytykow muzycznych, którzy jednogłośnie wypowiadali się na łamach prasy o sensacyjnym debiucie polskiej śpiewaczki,oraz w Royal Opera House Covent Garden w Londynie, w roli Aspasii w operze Mitridate, Re di Ponto W. A. Mozarta. Aleksandra Kurzak powróciła do MET występując w roli Blondy w Uprowadzeniu z Seraju, Gildy w Rigoletto, Małgosi w Jasiu i Małgosi oraz jako Adina w Napoju miłosnym. Od czasu londyńskiego debiutu artystka regularnie powraca do Opery Królewskiej, która stała się niemal jej macierzystym teatrem. Wystąpiła tam także jako Norina w Don Pasquale, Adina w Napoju miłosnym, Zuzanna, a także jako tytułowa Matylda w Matilde di Shabran G. Rossiniego, odnosząc prawdziwy triumf na tej scenie, oraz ostatnio jako Donna Fiorilla w Turku w Italii , Rozyna w Cyruliku sewilskim, Gilda i tytułowa Łucja z Lammermooru.
W 2010 Aleksandra Kurzak zadebiutowała w słynnym Teatro alla Scala jako Gilda i powróciła ponownie jako Zuzanna oraz Adela w operze Rossniego Hrabia Ory.
Aleksandra Kurzak wystąpiła również w Deutsche Staatsoper Unter den Linden w Berlinie jako Królowa Nocy, w Teatro Regio w Parmie oraz w Théâtre du Capitole w Tuluzie jako Gilda, na Festiwalu w Salzburgu jako Donna Anna, Anusia (Wolny strzelec) oraz w koncercie z orkiestrą Mozarteum (arie koncertowe W.A.Mozarta), na Festiwalu mozartowskim w A Coruña, oraz w Welsh National Opera w Cardiff (Aspasia), w Teatro Massimo w Palermo jako Norina, w Teatro Massimo di Bellini w Katanii (koncert z ariami V. Belliniego), w Bayerische Staatsoper w Monachium jako Kleopatra, Adela, Rozyna, Fiorilla, Adina i Rachel, w Wiener Staatsoper jako Rozyna, Adina, Zuzanna, Maria, Violetta i Gilda, w Lyric Opera House w Chicago jako Blonda, w Teatro Regio w Turynie jako Violetta, w Theater an der Wien jako Donna Anna i Amenaide, w Arenie di Verona jako Rozyna, Julia, Gilda oraz w Gali G. Verdiego, w Operze w Los Angeles jako Fiordiligi, w Palau de les Arts w Walencji jako Adina, w Fińskiej Operze Narodowej w Helsinkach i w Operze w San Francisco jako Gilda, w Teatro Real w Madrycie jako Zuzanna i Maria, w Operze Narodowej w Warszawie jako Gilda, Violetta i Łucja, w Teatro La Fenice jako Donna Anna, w Zurychu jako Gilda, Norina i Nedda, w Seattle jako Łucja oraz w Operze paryskiej jako Adina.
Aleksandra Kurzak współpracowała m.in. z takimi dyrygentami, jak: Ivor Bolton, Bruno Campanella, James Conlon, Sir Andrew Davis, Christoph von Dohnanyi, Riccardo Frizza, Rafael Frühbeck de Burgos, René Jacobs, Fabio Luisi, Nicola Luisotti, Sir Charles Mackerras, Ingo Metzmacher, Daniel Oren, Antonio Pappano, Carlo Rizzi, Ralf Weikert, Simone Young.
Aleksandra Kurzak jako pierwsza Polka w historii wokalistyki podpisała ekskluzywny kontrakt fonograficzny z firmą DECCA.
W sezonie 2016/2017 Kurzak wystąpi jeszcze jako Mimi w Staatsoper w Berlinie, Micaela w Operze w Paryżu, Adina w Deutsche Oper w Berlinie, a także jako Adina i Liu w ROH w Londynie.